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8 Derivative Finanzinstrumente
8.8 Optionspreismodell von Black & Scholes
Es stellt sich die Frage, welcher angemessene Preis
(Fair Value) für eine Option zu zahlen ist,
damit der Long-Position-Inhaber und der
Short-Position-Inhaber sich in einem fairen Geschäft
befinden und alle wesentlichen Preisbestandteile (alternative
Zinshöhe, erwartete Kursschwankungen, Volatilität,
Basiskurs, aktueller Kurs, Restlaufzeit) hinreichend korrekt
im Optionspreis berüsichtigt wurden.
Die Black-Scholes-Formel für den (theoretisch)
fairen Preis lautet:
| pc =
S N(d1/d0) -
X N(d2/d0) Exp(-r T)
| (8.3.1a) |
| d0 = σ √ T
| (8.3.1b) |
| d1 =
ln(S/X) + (r + 0.5 σ2) T
| (8.3.1c) |
| d2 =
ln(S/X) + (r -- 0.5 σ2) T
| (8.3.1d) |
wobei N(x) die kumulierte Normalverteilungsfunktion
(Wertetabelle) ist. Für den
Datensatz (s.u.) X = 160 €, r = 5% p.a.,
T = 9 Monate = 0.75 Jahre und &sigma = 20% p.a. ergeben sich die
Optionspreise für einen europäischen Call/Put in Abhängigkeit
des aktuellen Aktienkurses S wie folgt:
zugehörige Mathematica Notebook
Optionsprämie pc eines europäischen Call
Taschenrechner
Die Einflußgrößen haben für den Call/Options-Preis
folgende Auswirkungen:
- je höher der Aktienkurs S,
desto höher der Call-Preis pc
- je höher der Basispreis X,
desto kleiner der Call-Preis pc
- je höher das Marktzinsnieveau r,
desto höher der Call-Preis pc
- je höher die Restlaufzeit T,
desto höher der Call-Preis pc
- je größer die Volatilität S,
desto höher der Call-Preis pc
Optionsprämie pc eines europäischen Put
Der Optionspreis pp eines dividengeschützten
europäischen Put kann durch die sog.
Call-Put-Parität bestimmt werden, die durch
| pp + S =
pc + X Exp(-r T)
| (8.3.2) |
gegeben ist.
Taschenrechner
Die Einflußgrößen haben für den Put/Options-Preis
jetzt folgende Auswirkungen:
- je höher der Aktienkurs S,
desto niedriger der Put-Preis pc
- je höher der Basispreis X,
desto höher der Put-Preis pc
- je höher das Marktzinsnieveau r,
desto niedriger der Put-Preis pc
- je höher die Restlaufzeit T,
desto höher der Put-Preis pc
- je größer die Volatilität S,
desto höher der Put-Preis pc
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© Marcus Mauser, Johannes Gutenberg-Universität Mainz